2025-Ryudai-Butsuri-Q2A(3)-ver03

琉大2025物理大問２A問3の計算式

世間に、計算途中式の資料が見当たらないので、途中式を書いてみました。(by A.YK)

最初の落下までの時間をｔ₀とおき、高さｈの障害物の位置まで移動するのにかかる時間をｔ、
床に衝突する直前の鉛直方向速さをV_yとおくと、反発係数e=1/2より、衝突直後の鉛直方向速さｕ=1/2V_yであり、
- 　 $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{1}{2}g{t_0}^2=8h$ 　より、 $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?{t_0}=4\sqrt{\frac{h}{g}}$
- 　 $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?vt=L$ 　より、 $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?vt=L$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?vt=L$
- 　 $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{1}{2}m{v_y}^2=mg8h$ 　より、 $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?u=\frac{1}{2}v_y=2\sqrt{gh}$
時刻ｔでの高さｙが障害物の高さｈよりも上であればよいので、
- $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<u(t-t_0)-\frac{1}{2}g(t-t_0)^2$ 　これに、上記のｕ、ｔ、ｔ₀を代入すると、
  
  $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\sqrt{gh}(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})-\frac{1}{2}g(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})^2$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\sqrt{gh}(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})-\frac{1}{2}g(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})^2$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\sqrt{gh}(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})-\frac{1}{2}g(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})^2$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\sqrt{gh}(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})-\frac{1}{2}g(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})^2$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\sqrt{gh}(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})-\frac{1}{2}g(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})^2$
  
  $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\frac{L}{v}\sqrt{gh}-8h-\frac{1}{2}g\frac{L^2}{v^2}-8h+4\frac{L}{v}\sqrt{gh}$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\sqrt{gh}(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})-\frac{1}{2}g(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})^2$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\frac{L}{v}\sqrt{gh}-8h-\frac{1}{2}g\frac{L^2}{v^2}-8h+4\frac{L}{v}\sqrt{gh}$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\sqrt{gh}(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})-\frac{1}{2}g(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})^2$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\frac{L}{v}\sqrt{gh}-8h-\frac{1}{2}g\frac{L^2}{v^2}-8h+4\frac{L}{v}\sqrt{gh}$
  
  $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?0<6\sqrt{gh}\frac{L}{v}-17h-\frac{1}{2}g\frac{L^2}{v^2}$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?h<2\sqrt{gh}(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})-\frac{1}{2}g(\frac{L}{v}-4\sqrt{hg})^2$ $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?0<6\sqrt{gh}\frac{L}{v}-17h-\frac{1}{2}g\frac{L^2}{v^2}$ これを、ｖの二次不等式に直すと、
  
  $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?0>34v^2-12\sqrt{gh}v+\frac{g}{h}$ 　さらに、＝０の二次方程式としてvを求めると、
  
  $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?v=\frac{6\frac{g}{h}\pm\sqrt{36\frac{g}{h}-34\frac{g}{h}}}{34}=\frac{(6\pm\sqrt{2})\sqrt{\frac{g}{h}}}{34}$ 　ｖの下限なので、－の方をとって、
  
  $http://www.dietpanda.com/cgi-bin/mimetex.cgi?v=\frac{(6-sqrt{2})}{34}\sqrt{\frac{g}{h}}}=\frac{(6-sqrt{2})(6+sqrt{2})}{34(6+sqrt{2})}}\sqrt{\frac{g}{h}}=\frac{34}{34(6+\sqrt{2})}\sqrt{\frac{g}{h}}=\frac{1}{(6+\sqrt{2})}\sqrt{\frac{g}{h}}$ 　　・・・答え
  
  注：次元解析して速度の単位になっていることも確認！　√{(m/s²)/m)}m=m/s