琉大2025物理大問２A問3の計算式

世間に、計算途中式の資料が見当たらないので、途中式を書いてみました。(by A.YK)

• 最初の落下までの時間をｔ₀とおき、
  高さｈの障害物の位置まで移動するのにかかる時間をｔ、
  床に衝突する直前の鉛直方向速さをV_yとおくと、
  反発係数e=1/2より、衝突直後の鉛直方向速さｕ=1/2V_yであり
  
  (1/2)gt₀²=8h　より　t₀ = 4√(h/g)
   
  vt = L より、t = L/v
   
  (1/2)mv_y²=mh (8h) より、u=(1/2)v_y=2√(gh)
   
• 時刻ｔでの高さｙが障害物の高さｈよりも上であればよいので、
  
  h < y=u (t - t₀) - (1/2)g(t - t₀)²
  
  これに、上記のu、t、t0を代入すると、
  
  h<2√(gh)(L/v - 4√(hg)) - (1/2)g(L/v-4√(hg))²
  
  h<2(L/v)√(gh) - 8h - (1/2)g(L²/v²) - 8h + 4L/v√(gh)
   
  h<6(L/v)√(gh) - 17h - (1/2)g(L²/v²) これを、ｖの二次不等式に直すと
  　
  ０>34v² - 12L√(g/h)v +  (g/h)(L²/v²)  さらに、＝０の二次方程式としてvを求めると、
  　
  v=[6(g/h)±√{36(g/h)L² - 34(g/h)L²}]/34 =[(6±√2)L√(g/h)]/34 ｖの下限なので、－の方をとって、
  
  v=[(6 - √2)L√(g/h)]/34 = [(6 - √2)(6 + √2)L√(g/h)]/{34(6 + √2)}=[34L√(g/h)]/{34(6 + √2)}
  
   =[L√(g/h)]/(6 + √2)　・・・答え
  （注：次元解析して速度の単位になっていることも確認！　m√{(m/s²)/m}=m/s )